Vetores: Definição, Características e Operações

Os vetores são elementos fundamentais na física e possuem diversas aplicações práticas. Neste post, vamos explorar a definição e características dos vetores, além de abordar as técnicas de soma pelo método do polígono fechado e pela regra do paralelogramo. Também discutiremos a multiplicação de um escalar por um vetor e a multiplicação de um vetor por outro vetor. Vamos mergulhar nesse fascinante mundo vetorial!

Qual a definição de Vetores?

Em termos simples, um vetor é uma entidade matemática que possui magnitude (tamanho) e direção. Geometricamente ele é representado graficamente por uma seta (segmento de reta orientado), onde o comprimento representa a magnitude e a orientação indica a direção. Os vetores podem ser descritos em termos de suas componentes ao longo dos eixos coordenados.

Quais as características do vetor?

Um vetor pode ser definido como um segmento de reta que apresenta algumas propriedades básicas.

Essas propriedades estão presentes nas grandezas vetoriais (velocidade, aceleração, força, deslocamento, etc.) e são elas: o módulo, a direção e o sentido.

Conheça melhor quais as características do vetor:

As características de um vetor podem ser definidas como as propriedades fundamentais que estão presentes nas grandezas vetoriais, tais como velocidade, aceleração, força e deslocamento. Essas características são: módulo, direção e sentido.

O módulo de um vetor é sempre um número real e positivo. Na representação gráfica, o comprimento do vetor corresponde ao módulo da grandeza que ele representa.

A direção de um vetor é determinada pela reta suporte que o define. Essa reta indica a orientação do vetor no espaço.

O sentido de um vetor é indicado pelo segmento com uma ponta de seta que aponta em uma direção específica. Ele representa a orientação do vetor em relação a um ponto de referência.

A combinação dessas três características define o comportamento de uma determinada grandeza vetorial.

Para exemplificar essas características, vamos considerar a força peso atuando em um corpo sobre uma superfície plana. A direção do vetor peso é vertical, apontando para baixo, e seu módulo é igual à intensidade da força peso atuando sobre o corpo.

É importante destacar que os vetores podem ser representados por letras, tanto maiúsculas quanto minúsculas, com uma seta sobre elas, indicando que representam grandezas vetoriais.”

Soma de Vetores:

Existem duas técnicas comumente utilizadas para somar vetores:

Método do Polígono Fechado:

Nesse método, os vetores são representados graficamente por setas e são somados sequencialmente, conectando as extremidades das setas. O vetor resultante é obtido a partir da linha que liga a origem do primeiro vetor à extremidade do último vetor.

Exemplo:

Imagem feita em: <https://phet.colorado.edu/sims/html/vector-addition/latest/vector-addition_all.html?locale=pt_BR>.

Regra do Paralelogramo:

Esse método permite a interpretação geométrica e algébrica da soma dos dois vetores. Geometricamente coloca-se os dois vetores de forma a coincidirem suas origens, que na figura abaixo são os vetores azuis. Após esse primeiro passo, fazemos a projeção do primeiro vetor na extremidade do segundo e a projeção do segundo na extremidade do primeiro, representado pelos vetores laranja da figura abaixo, formando assim um paralelogramo.

O vetor que une a origem dos dois vetores azuis com a extremidade dos dois vetores em laranja, a diagonal do paralelogramo formado, é chamado de vetor soma. A sua direção e sentido estão representados na figura abaixo e o seu módulo pode ser calculado algebricamente pela expressão:

Onde o ângulo usado na expressão é aquele formado entre os dois vetores em azul.

Imagem feita em: < https://phet.colorado.edu/sims/html/vector-addition/latest/vector-addition_all.html?locale=pt_BR>.

Vale destacar que a expressão apresentada é usada para qualquer ângulo formado entre os dois vetores, entretanto, se os vetores forem paralelos, opostos ou perpendiculares, essa mesma expressão pode ser representada por:

Multiplicação de um Escalar por um Vetor:

A multiplicação de um escalar (um número) por um vetor resulta em um novo vetor com magnitude alterada, mas com a mesma direção. Se o escalar for negativo, o vetor resultante será apontado na direção oposta.

Multiplicação de um Vetor por outro Vetor:

Essa operação é conhecida como produto vetorial ou produto cruzado. O resultado é um vetor perpendicular aos vetores multiplicados e sua magnitude depende do ângulo entre eles. O produto vetorial é utilizado em diversas áreas, como mecânica, eletromagnetismo e geometria.

Dado dois vetores A e B, o produto vetorial A x B pode ser calculado da seguinte maneira:

a)    Determine as componentes dos vetores A e B:

Escreva os vetores A e B em termos de suas componentes ao longo dos eixos coordenados (x, y, z). Por exemplo, se A = (A₁, A₂, A₃) e B = (B₁, B₂, B₃), onde A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃ são os componentes dos vetores.

b)    Calcule as componentes do vetor resultante:

O vetor resultante do produto vetorial, denotado por C = A x B, terá três componentes (C₁, C₂, C₃). As fórmulas para calcular essas componentes são as seguintes:

c)       C₁ = A₂B₃ - A₃B₂

          C₂ = A₃B₁ - A₁B₃ 

          C₃ = A₁B₂ - A₂B₁

         Demonstração:

d)   Determine a magnitude e a direção do vetor resultante:

A magnitude, ou o módulo do vetor resultante C é dada por:

A direção do vetor resultante é perpendicular ao plano formado pelos vetores A e B, e seguindo a regra prática da mão direita, podemos determinar o seu sentido. Uma das maneiras de aplicar essa regra prática é a seguinte:

• Mão direita espalmada;
• Aponta-se os dedos indicador, médio, anelar e mínimo na direção do vetor A;
• Feche esse dedos para a direção do vetor B;
• O sentido de A vetorial B será determinado pelo sentido do dedo polegar.

Outra forma é estender o polegar e o indicador da mão direita de forma que o polegar represente o sentido de A e o indicador o sentido de B, o vetor resultante C apontará na direção do dedo médio, perpendicular ao dedos polegar e indicador.

e)   Escreva o vetor resultante na forma vetorial:

           O vetor resultante C pode ser expresso como C = (C₁, C₂, C₃).

   

      Lembre-se de que o produto vetorial só é definido em um espaço tridimensional. Portanto, certifique-se de que os vetores A e B estejam definidos nesse espaço.

Conclusão:

Os vetores desempenham um papel essencial na física e em muitas outras áreas do conhecimento. Eles são utilizados para representar grandezas físicas, como forças, deslocamentos e campos. Compreender as características e operações dos vetores é fundamental para resolver problemas e interpretar fenômenos físicos. Esperamos que este post tenha sido útil para você iniciar sua jornada no mundo vetorial!

Bons estudos!

Professor Hudson Scatena.